Im Jahr 2023 wurde überraschend ein einzelner geometrischer Stein vorgestellt, der eine Fläche lückenlos ausfüllen kann, ohne dass sich dabei ein regelmäßiges, sich wiederholendes Muster ergibt. Ein solcher Stein wird umgangssprachlich „Einstein-Tile“ genannt – von „ein Stein“, nicht nach Albert Einstein.
Das zugrunde liegende wissenschaftliche Ergebnis stammt aus dem Paper “An aperiodic monotile” (Smith, Myers, Kaplan, Goodman-Strauss, 2023).
Schon früher gab es nichtperiodische Parkettierungen, etwa die bekannten Penrose-Kacheln. Dort benötigt man jedoch mehrere verschiedene Steine, die gemeinsam ein nicht-wiederholendes Muster erzwingen.
Auch die Kunst von M. C. Escher spielt mit ähnlichen Ideen: lokale Ordnung, die sich über die Fläche hinweg nie exakt wiederholt.
Das Besondere am Einstein-Tile ist nun:
Keine Spiegelvariante, kein zweiter Typ, keine Zusatzregeln.
„Keine Wiederholung“ heißt hier nicht, dass das Muster chaotisch ist. Im Gegenteil: Lokal entstehen sehr regelmäßige Strukturen – Kanten passen, Winkel stimmen, Motive wirken vertraut.
Aber:
Man spricht deshalb von einer aperiodischen Parkettierung.
Der Einstein-Tile eignet sich besonders gut für den 3D-Druck:
Als Puzzle, als Magnet- oder Spielstein, oder einfach als Objekt zum Anfassen wird aus einem abstrakten mathematischen Ergebnis etwas Greifbares.
Die folgende OpenSCAD-Datei beschreibt eine druckbare Version dieses Steins. Sie basiert auf den im Paper beschriebenen geometrischen Beziehungen, ist jedoch für praktische Nutzung (Druck, Anfassen, Ausprobieren) angepasst.
Ziel ist nicht mathematische Perfektion, sondern Verständnis durch eigenes Legen und Experimentieren.
Die Datei Einsteintile_magnet.scad:
// $Revision: 1027 $
// $Id: Einsteintile_magnet.scad 1027 2026-01-01 13:32:54Z bernhard $
// $Author: bernhard $
// $Date: 2026-01-01 14:32:54 +0100 (Do, 01. Jan 2026) $
// $LastChangedDate: 2026-01-01 14:32:54 +0100 (Do, 01. Jan 2026) $
/*
CC0 BY (Public Domain)
2025 by bernhard (3d.bit-field.de) is licensed under the Creative Commons - Attribution license.
*/
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// Einstein-Hat SCAD - Minimalversion
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$fn=100; //
// ==============================
// Parameter
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tile_scale = 2; // XY-Skalierung
extrude_height = 3.5; // Druckhöhe (3.x–4)
magnet_diameter = 6; // Magnetloch Ø mm
magnet_depth = 3.; // Magnettiefe
eps = 0.1;
// ==============================
// Eckpunkte der Hat-Form (XY)
pp = [
[45.0,60.62], [40.0,51.96], [42.32,47.94],
[50.47,52.64], [57.91,48.35], [60.0,51.96],
[65.0,51.96], [65.0,60.75], [57.56,65.05],
[60.0,69.28], [57.68,73.30], [50.0,68.87],
[50.0,60.62]
];
points = [for (p = pp) let (x= p[0]-40, y= p[1]-47.94) [x, y] ];
// ==============================
// Tile für 6x3 Magnet
// ==============================
module magnet_hat() {
difference() {
// Tile
linear_extrude(height=extrude_height)
scale(tile_scale)
polygon(points);
// Löcher für Magnete
#translate([20, 18, 0 - eps])
cylinder(h=magnet_depth, r=magnet_diameter/2 + eps);
translate([40, 18, 0 - eps])
cylinder(h=magnet_depth, r=magnet_diameter/2 + eps);
}
}
magnet_hat();
Das oben gezeigte Bild (Ring um ein hexagonales Loch) ist keine streng regelkonforme aperiodische Parkettierung im mathematischen Sinn. Die Anordnung wurde bewusst so gewählt, dass sie ästhetisch klar ist und die Form des Steins gut erkennen lässt.
Solche lokalen, „schönen“ Strukturen sind beim Einstein-Tile möglich – sie lassen sich jedoch nicht unbegrenzt fortsetzen, ohne an anderer Stelle Anpassungen vornehmen zu müssen.
Titelbildquelle: eigenes Bild
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